La creazione di Aya

Irene Vacca Classe quinta Milano

La creazione scelta è quella di Aya che l’autrice spiega così:

Dopo aver discusso di questa creazione Aya offre ai compagni la sua spiegazione. Si parla di fare sempre la metà o fare sempre il doppio. Ma qualcuno afferma anche che basta aggiungere e togliere. Emerge il conflitto tra additivo e moltiplicativo ma anche il passaggio dalla divisione alle frazioni. La discussione ci porta verso una situazione problema che mette in gioco sia i concetti di divisione che di frazione.

Situazione problema: La lepre marzolina

La situazione nella sua versione originale:

LA LEPRE MARZOLINA

I bambini hanno cercato la soluzione in autonomia. Di seguito, ciò che hanno scritto i bambini sul loro quaderno.

Ho raccolto le strategie e le ho riassunte.

Questa settimana ho mostrato loro queste strategie riassunte, ho chiesto loro in quale si ritrovassero e abbiamo discusso quali potevano funzionare e quali no. Abbiamo cercato anche analogie e differenze tra le strategie.

Successivamente abbiamo pensato a come rappresentarle graficamente: prima ci siamo dedicati al cibo e poi al tè; anche durante questa attività ci siamo soffermati sulle differenze tra l’operare con 9 tartine/rotolini/vasetti e operare con i 9 cl.

Consegna: “Come risolverà il problema la Lepre Marzolina? Riuscirà a non far avanzare nulla?”

QUINTA A

  • Secondo me la Lepre Marzolina può dare a tutti una porzione e mezza così non rimane niente. Ho tracciato una linea ogni porzione e mezza e così non rimane niente. FRANCI
  • Secondo me la Lepre Marzolina dovrà fare 9 centilitri diviso 6 tazze:

9:6= 1,5. Così ognuno avrà 1,5 cl di tè.

Potrebbero fare lo stesso con le tartine, la marmellata e i rotolini di burro: daranno 1,5 di tartina,1,5 di vasetti per ciascuno e 1,5 rotolini di burro ad ognuno. ANDREA 

  • 9:6=1,5

Per me per dividere il tè, la Lepre Marzolina deve fare 9 che sono i cl diviso 6 che sono le persone e fa 1,5. Ognuno berrà 1,5 cl di tè.

Per non far avanzare il cibo, ognuno dovrà mangiare 1,5 di tutto, perché 1,5×6= 9. Quindi non avanza niente. CAMI

  • La lepre risolverà la situazione dando a ciascuno 1,5 di tè, di tartine, di vasetti di marmellata e rotolini. Ho pensato a 1,5 perché ho fatto 9:6=1,5. ARIANNA

[Cosa significa “1,5 di tartina”? Questo ha acceso la conversazione sul ciò che c’è di diverso quando ragioniamo con le 9 tartine e quando ragioniamo sui 9 cl. 

Citty ha riassunto dicendo: “Anche io ho usato questo ragionamento, ma 1,5 va bene per i centilitri. Per generalizzare con il cibo ho detto una quantità e mezza.”]

  • La lepre potrebbe dare a ogni partecipante 1,5 cl. Ecco perché:

9 cl :6=1,5cl

E, per non far avanzare niente, basterà dare anche per la marmellata, le tartine e il burro una quantità e mezza. CITTY

  • Sapevo che le tartine erano 9 e gli invitati 6, perciò ho fatto 9:6=1 resto 3

Ho pensato di dividere il 3 di resto: venivano 6/2.

questo modo di porre la soluzione va attentamente discussa perché 3:6=0,5 cioè ½ non 6/2, perché Vera dice che trova 6/2? perché ha preso 3 porzioni e di ciascuna ha fatto la metà quindi ha fatto 2/2 + 2/2 + 2/2

la scrittura 6/2 traduce in simboli le parole sei mezze porzioni (vedi Samah)

A ogni tartina ho aggiunto ½. VERA [ragiona con le frazioni]

  • Se i personaggi sono 6, dobbiamo dividere il tè in 6 facendo 9:6. Per comodità però io ho deciso di trasformare 9 centilitri in 90 millilitri e fare 90:6 che fa 15. così evita di fare la divisione con il divisore maggiore che dà sempre fastidio, ma questo con i rotolini di burro non si può fare, mi sembra un buon aggancio

Cara lepre Marzolina, per dare la stessa quantità di tè a tutti dovrai versarne 15 ml a ciascuno. Buon tè!

Per non far avanzare cibo, la lepre deve prima dare a ciascuno 1 tartina e ne avanzeranno 3 (dato che sono 6 e le tartine sono 9).

Dovrà fare 3:6= 0,5.

Ognuno prenderà mezza tartina. SAMAH [qui noto che c’è proprio l’idea del distribuire] ma anche prima c’era altrimenti non avrebbero ragionato in quel modo, chiedi cosa vuol, dire “dividere” e avrai i diversi significati

  • Lepre Marzolina, io farei così: dividere i centilitri di tè:  9:6 = 1

Per le tartine, sempre uguale e anche per gli altri cibi.

Devi dividere per forza per 6 perché ci sono sei persone che devono bere il tè oppure mangiare.

Avanza sempre 3 di tutto. che cosa ne facciamo? CLAUDIO [non considera il resto]

  • Lepre Marzolina, io farei così: per far mangiare a tutti la deliziosa merenda io dividerei tutto il cibo sulla tavola (cioè 36) per il numero delle persone che devono mangiare la merenda (cioè 6).

36:6= 6

Così tutti hanno mangiato la merenda. AIDA [non considera che tutti devono mangiare la stessa quantità di ogni cibo e di tè]

  • La mia idea è che ad ognuno va metà di ogni cosa, quindi così:

½ di tartina ad Alice, ½ al coniglio, ½ al gatto, ½ alla lepre, ½ al cappellaio e ½ al ghiro…

Il ragionamento che ho fatto è lo stesso per tutto ciò che c’è sul tavolo. SIMONE

[questo ragionamento che non dà una soluzione corretta ha aperto, però, alla visione di un’altra possibilità: dividere ogni tartina a metà e distribuire ½ di tartina ad ogni personaggio, fino a finire le tartine. In questo modo riusciamo a capire che ogni personaggio avrà 3/2 di tartine, rotolini, vasetti e che 3/2 corrisponde a 1 intero e ½]   ottimo!

  • Lepre Marzolina, io farei così:

per il tè sono andato un po’ a tentativi e infine ho capito che era 1,5. Poi però ho trovato una tecnica: mi sono immaginato una retta e ho fatto come in classe, sono arrivato a 9 e ho diviso per gli spazi che erano 6. E poi ho capito che l’operazione era 9:6

Ovviamente per le altre cose è uguale perché gli interi sono sempre 9 e dobbiamo dividerli sempre per 6. NICHOLAS [idea della RETTA DEI NUMERI, questa strategia può essere utilizzata per un ulteriore passaggio concettuale per la classe?] direi proprio di sì, è importantissimo passare da una sistema all’altro

QUINTA B

  • Ho pensato di dare a ciascuno una tazza, una tartina, un vasetto di marmellata e un rotolino di burro.

Rimarranno 3 cose di qualunque cibo e ho pensato di dividerli a metà; quindi una persona prenderà:

  • 1,5 cl di tè
  • 1 tartina e mezza
  • 1 vasetto di marmellata e mezzo
  • 1 rotolino di burro e mezzo

Infine tutti ingrasseranno della stessa quantità. AYA [idea del distribuire, il finale comico ha sotto un’idea importante: dare ad ognuno la stessa quantità, che abbiamo ricordato più volte durante il confronto e che è chiara ai ragazzi]

  • Se ci sono 9 tazzine per sei persone, ognuno può averne 1 e condividere 1 tazzina con un altro; così tutte le tazzine sono prese.

Poi se ci sono 9 tartine, ognuno ne prende 1 e le altre 3 rimanenti si dividono a metà e si ottengono 6 pezzi e se ne distribuisce 1 a ognuno e ne avranno 1 e mezzo.

Così anche per i rotolini di burro. Poi per la marmellata, ognuno prende 1 vasetto e un altro lo condivide con un altro personaggio. Infine per i 9 cl d’acqua ognuno ne beve 1 cl e 5 ml. FABIA

[anche qui emerge l’idea del distribuire. Questa spiegazione ci ha permesso di riflettere sul linguaggio. Non a tutti era chiaro, allora abbiamo provato ad aggiungere delle parole “matematiche”, sostituendo “ 6 pezzi” con 6 metà oppure sei mezzi; la frase “ne distribuisce 1 a ognuno” è stata modificata con “ distribuisce ½ (oppure metà) tartina a ognuno” anche qui tornano le frazioni] molto bene, è importante distinguere “pezzo” da “metà” ma non bisogna nemmeno perdere il riferimento al fatto che si tratta di metà di qualcosa, sono parti di…. non parti e basta

  • Se i partecipanti sono 6 dà ad ognuno 1 cibo e avanzeranno 3 di ogni cibo. Quindi basta dividere ogni cibo un’altra volta; quindi ci sarà 6 [6 cosa? Manca la precisione del linguaggio; il discorso affrontato con la spiegazione di Fabia si collega anche a questa spiegazione] di ogni cosa e avanzerà 0 di ogni cosa.

Per il tè rimarranno 3 centilitri di tè quindi se ogni centilitro lo dividiamo per 2, usciranno 5 millilitri in più per tutti e non avanzerà nulla. DAVIDE [come Fabia, passa in modo spontaneo dai cl ai ml]

  • Io ho pensato di fare 9:6 che fa 1,5, quindi per dividere la merenda e darla a tutti, ogni cosa devi farla da 1,5. SAMU [questa strategia, utilizzata anche da altri compagni, ci ha permesso di iniziare a riflettere sul fatto che ci sia una differenza tra dividere le 9 tartine e dividere il tè. Stella dice: “Per il tè ha senso dire 1,5 cl; ma con le tartine no. Cosa vuol dire 1,5 di tartina. Devo usare le frazioni”. Si tratta di una differenza che viene percepita ma che si fatica a spiegare]
  • Se noi abbiamo 9 tartine, 9 tazzine, 9 vasetti di marmellata, 9 rotolini di burro e 9 centilitri di tè. Per farli diventare per 6 persone, 9 centilitri di tè dobbiamo farli diventare 90 ml.

90ml :6=15 ml

I nostri 15 ml di tè dobbiamo trasformarli in centilitri; quindi saranno 1,5 cl. [anche qui c’è il passaggio da un’unità di misura all’altra, ma per il cibo? Anche questo si è collegato alla strategia di Samu]

  • Due alunne non hanno trovato la soluzione alla situazione.

queste due bimbe non le dobbiamo abbandonare, diamo loro in mano gli oggetti veri e facciamoglielo fare concretamente, se porti le cose a scuola o fai un filmino in cui le mostri davvero potrebbe essere utile anche come conclusione per gli altri e per rilancio sul 12…

quelli che dicono subito che 9:6=1,5 come fanno il calcolo? usano la calcolatrice o hanno altre strategie?

E se i partecipanti fossero 12?

Alcuni esempi di protocolli degli alunni con diverse strategie:

Il conflitto additivo moltiplicativo

VACCA IRENE, CLASSE QUINTA, GRUPPO MILANO

OBIETTIVO: CONFRONTARE LA VISIONE MOLTIPLICATIVA E LA VISIONE ADDITIVA

IDEA DELLA SOTTRAZIONE

Stella: secondo me invece c’entrano le unità di misura perché se non sbaglio prima ha utilizzato la caraffona con le misure. Secondo me ha utilizzato sempre gli stessi ingredienti però nel primo ha utilizzato un tot di farro; nel secondo ha utilizzato sempre il farro, solo che ne ha usato di meno. Ha utilizzato le unità di misura per capire…per dare un senso…come si dice..

M. Irene: prova, poi magari qualche compagno ti aiuta

Stella: eh va tipo a scala 

M. Irene: a scala

Davide: eh sì così: dal più piccolo al più grande

Ale: no dal più grande al più piccolo

Fabia: è uguale

Stella: ecco cosa volevo dire: secondo me di sicuro ha utilizzato una misurazione. Tipo i centimetri, penso, per vedere l’altezza. 

M. Irene: quindi secondo te l’unità di misura che ha utilizzato sono i centimetri

Stella: secondo me sì. Poi ha calcolato qualcosa e ha pensato: lì metto un numero tipo 15 e ha sempre sottratto il 5. E ha fatto 10, 5 e lì…..

DIVISIONE E SOTTRAZIONE

M. Irene: quindi secondo te ha sottratto. Davide ha detto che ha fatto la metà della metà della metà; cosa ha fatto?

Fabia: ha diviso

M. Irene: cambia o è la stessa cosa?

Fabia: forse è la stessa cosa

Cos: eh no perché dividere significa che c’hai..

Ale: una quantità

Cos: una quantità e la devi dividere. Sottrarre non è uguale.

M. Irene: e cosa c’è di non uguale?

Samu: se dividi, dividi per due. Se fai meno, fai meno un pezzettino.

M. Irene: Proviamo a rispiegare… Samu dice: se ho una quantità la divido in due parti, come?

Samu: uguali. Se sottraggo, tolgo quanto voglio. Però Stella ha un po’ fatto anche la divisione. Cos’avevi detto? 15?

Stella: eh ma con 15, l’ultimo rimane 0. 

Samu: ha fatto come 15:3

Stella: era meglio utilizzare il 20. Perché quello lì è 20, quello diventa 15, poi 10 e 5.

Davide: è come fare 20:4

M. Irene: in che senso?

Fabia: secondo me è fare la stessa cosa sì e no: è la stessa cosa “Sì” perché se hai un numero tipo 20 e dividi per 4 e trovi 5, poi fai meno 5, meno 5….. ora ti dico perché “no”: perché con la divisione se fai 20:4, arrivi direttamente a un numero, con la sottrazione devi fare tutti i passaggi.

Samu: fare 20:4 è come fare 20-15. Se fai 20:2 è diverso che fare 20-2

M. Irene: è molto diverso

PARTENDO DAL PIÙ PICCOLO, FARÒ SEMPRE IL DOPPIO DEL PRECEDENTE…. PARTENDO DAL BICCHIERE PIÙ GRANDE, FARÒ SEMPRE LA METÀ

PARTENDO DAL PIÙ GRANDE, SOTTRAGGO SEMPRE LA STESSA QUANTITÀ. 

DOMANDE PER LA DISCUSSIONE:

  • NOTATE DELLE DIFFERENZE TRA QUESTE DUE IDEE?
  • (QUALE OPERAZIONE STIAMO FACENDO NEL PRIMO CASO E NEL SECONDO CASO?) ????
  • OSSERVANDO LA CREAZIONE DI AYA, SECONDO VOI, CHI HA RAGIONE? 
  • IMMAGINATE DI PREPARARE I QUATTRO BICCHIERI: COSA VI SERVE SAPERE PER ORGANIZZARE I BICCHIERI SECONDO LA PRIMA REGOLA? E SEGUENDO LA SECONDA REGOLA?