Bottiglie, bicchieri e retta dei numeri

Simonetta Nardone, classi terze, Palmanova (UD)

Premessa (D. Merlo) Partendo da questa ampia documentazione di Simonetta Nardone relativa al percorso sulla situazione problema “Le bottiglie da un litro e mezzo” avvierei una discussione su questo modo di introdurre i numeri decimali che non segue il solito iter (dalle frazioni decimali ai numeri decimali) ma parte dalle conoscenze intuitive dei bambini per farle evolvere nel senso voluto. La prima sfida posta alla classe è quella di dare significato alla scrittura 1,5 che i bambini conoscono e vedono sulle bottiglie di cui sicuramente hanno fatto tutti esperienza nel quotidiano. Un percorso a ritroso, praticamente. Un’attività suggerita su Matematica 2001 che sembra avere avuto sempre successo, finora. Nello stesso tempo avvieremo una riflessione su due momenti centrali del percorso didattico: l’analisi dei protocolli e la discussione matematica, pratiche che nel gruppo sono ancora da consolidare.

Prima attività: la lettura delle etichette

Nelle vacanze natalizie i bambini hanno raccolto etichette di bottiglie. Appena tornati a scuola le abbiamo guardate tutti insieme e abbiamo evidenziato le scritte che indicavano la capacità.

I video sono interessanti e testimoniano come i bambini abbiano già idea dei numeri decimali, scritti come sono nella vita reale di ogni giorno (in 3° B si coglie bene dai loro discorsi quanto conoscono).

Commento (D. Merlo) Questa attività preliminare serve all’insegnante per capire che cosa sanno già i bambini rispetto alla lettura delle etichette che saranno poi utilizzate nella situazione problematica. In genere questo non si fa, non è necessario perché è la situazione problematica stessa che, per come è strutturata, forzerà i bambini a dare la loro interpretazione delle scritte sulle etichette. In particolare per risolvere il problema servirebbe solo dare significato a 1,5 L. La bambina infatti invece di leggere “1,5 litri” dice subito: «Un litro e mezzo!» perché questo è un fatto di esperienza.

Seconda attività: la situazione problema

Successivamente abbiamo affrontato questa situazione problema:

Sui quaderni i bambini spiegano come arrivare al conteggio dei 9 litri di bibite bevuti (in 3° A molti alunni hanno svolto con sicurezza il conteggio, altri si sono persi: un bambino inventa un altro percorso nel momento in cui chiedo di spiegare quanto ha scritto. Interessante anche il lavoro di un altro alunno che, insieme al compagno, spiega e legge correttamente quanto scritto sul suo foglio… l’attività in coppia è stata molto stimolante per tutti!

In 3° C M., appena letto il problema, viene subito a dirmi all’orecchio che ci sono 9 litri, ma poi al momento di spiegare, legge i numeri e conclude con la loro somma; D. ad un certo punto dice 3+1,5 fa 18… usa 1,5 come fosse 15… N. ha capito come fare 1,5 x 4 ma dice 60 anziché 6 litri…

Tutto ciò evidenza gli ostacoli ancora da affrontare e da superare.

Spiegazione di Lorenzo

Commento (D. Merlo) Dal video si ricavano due cose: i bambini hanno già famigliarità con la scrittura decimale, infatti Lorenzo scrive 2,0… 4,0… 6,0… Che significato dà Lorenzo a queste scritture? Perché non scrive semplicemente 2… 4… 6…? Questo è un dato di contesto che fa capire che c’è già un’esperienza precedente sui numeri decimali. Di solito il problema si propone a inizio terza quando i bambini non dovrebbero ancora avere nessuna conoscenza dei numeri “con la virgola” proprio per cogliere le loro idee intuitive. Teniamo presente che questa attività non dovrebbe avere come obiettivo la conoscenza delle misure di capacità ma la scoperta del significato dei numeri decimali a partire da un fatto di esperienza, questo infatti è l’obiettivo principale della situazione problema.

Spiegazione di Matilde

Commento (D. Merlo)

Alcuni stralci dal parlato del video.

Abbiamo tutti i numeri delle bottiglie che fanno sempre 3…. 1,5 + 1,5 …3
…perché fa 10 … 5+5
Ins: cosa è quel 5? quanto è di un litro quel 5? mezzo litro (dice Matilde)
Ins: quindi mezzo + mezzo quanto fa? un litro

In questo video la bambina identifica ..,5 con mezzo: da dove arriva questa conoscenza? Come ci sono arrivati i bambini?

Suggerimento: Quali altre consapevolezze emergono dai video successivi? Proviamo a porci questa domanda e cerchiamo di darci alcune risposte.

Spiegazione di Jacopo

Spiegazione di Haris

Spiegazione di Gabriel

Spiegazione di Cristian e Anas

Commento (D. Merlo) I bambini intervistati hanno utilizzato tutti la stessa strategia da cui risulta che il …,5 viene riconosciuto come mezzo. Dai protocolli risultano però anche altre strategie, non tutte corrette. Tutte le strategie, giuste e sbagliate, dovrebbero poi diventare oggetto di confronto nella classe.

Analisi dei protocolli (V. Perotti)

Dopo la risoluzione è importante analizzare i protocolli con eventuali, disegni, parole e calcoli o tentativi di calcoli. Il protocollo di solito è un prodotto “sporco” che raccoglie anche i tentativi …i ragionamenti che partono e poi si fermano, le cose cancellate e le cose messe in evidenza. Nei protocolli possiamo osservare le “risposte” ma anche e soprattutto i “processi” e le strategie di pensiero. Per questo sono un oggetto importante di analisi per l’insegnante.

Riguardando questi protocolli emergono differenti strategie.
La nostra analisi è indispensabile per predisporre la discussione. Dai protocolli infatti si ricavano le strategie prevalenti. Si trascrivono su un cartellone in modo che non siano immediatamente riconducibili ad un gruppo o ad un altro e si propongono ai bambini con la domanda: in quali di queste strategie/soluzioni vi riconoscete e perché? (chiarisco che rispetto al lavoro svolto nel gruppo si può cambiare idea ma è fondamentale nella fase della discussione esplorare le soluzioni per capire i ragionamenti fatti e motivare le scelte).
Sono presenti diverse scritture tutte da esplorare:

protocollo A) – la parte decimale viene gestita come fossero interi (infatti scrivono 5 + 5 = 10 e poi sommano il 10 al resto e arrivano a 24 litri)

protocolli B e C) – ragionano sul fatto che uno e mezzo + uno e mezzo fa 3 e a partire da questo calcolano correttamente il totale. Nel protocollo B le operazioni sono scritte a catena, forma matematicamente scorretta, che traduce con numeri e segni la procedura seguita nel calcolo mentale (errore da far rilevare perché si basa su un uso operativo dell’uguale, in contraddizione con il suo significato matematico).

protocollo D) – scrivere 1,0 è come scrivere 1? Infatti hai annotato che: “Nik dice che è come fare 1,5 x 4 ma dice 60 anziché 6.” Abbandonare questo 0 è un passaggio di significato, non è un automatismo. Ecco perché è importante discuterne.
E scrivere 5 è come 500 perché? Tutti significati da non dare per scontati (vedi anche protocollo F).

Protocollo E) – la parte decimale non viene sommata e rimane un 5 come rappresentativo della parte decimale, infatti abbandonano la virgola, sommano i numeri interi arrivano a 7, aggiungono dietro un 5 senza virgola e diventa 75 poi fanno + 3 …(questo + 3 non riesco a capire a cosa si riferisce). Il risultato 78 litri dovrebbe destare qualche dubbio!!

Protocollo F) – la premessa è che 1000 ml fanno 1 L quindi 500+500 fa 1 L. Questa conoscenza aiuta a mantenere il controllo. La parte intera dei litri viene contata separatamente da quella “decimale” rappresentata dal 500. Questa è una strategia usata spontaneamente da chi coglie già, se pur in modo intuitivo, il significato dei numeri decimali.

Tutti questi elementi sono l’oggetto della ricerca con i bambini.
Nei testi prodotti dai bambini emergono moltissime idee e concetti che vanno messi a confronto nella discussione successiva. Partire da queste idee significa partire da dove sono loro per accompagnarli, attraverso le diverse esperienze, tra cui la discussione, verso la nuova conoscenza.

La discussione in classe

Commento-discussione-litri-totali

Terza attività: la retta dei numeri con i decimali

La terza attività che abbiamo svolto è stato il travaso di acqua e quindi contare quanti bicchieri da 0,2 e da 0,1 stanno nella bottiglia da 1 litro e da mezzo litro… L’obiettivo era costruire una retta dei numeri con i decimali attraverso un’esperienza pratica.

I bambini hanno osservato quanto segnato nella tacca e soprattutto la misura che avevo preso dalla bottiglietta del gingerino (10 cl, 0,1 l); li ho stimolati a raccontare quanto svolto e hanno poi scritto tutto da soli, li ho lasciati liberi dicendo che andava bene comunque e anche qui i testi sono molto diversi… indicativi della fatica che alcuni bambini stanno facendo e quindi dell’importanza di attuare un laboratorio “acquatico”, come loro l’hanno battezzato!